Игра в точки

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
16.08.2020 14:10
Игра в точки
Условие

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?


Первому можно ставить до некоторого момента точки на одной прямой; посчитайте при этом число "угроз" выиграть следующим ходом, возникающих после k-ой поставленной красной точки.




Ответ - не может.
Пусть первый ставит точки на прямую, заботясь только о том, чтобы не попасть в уже поставленную точку (это всегда возможно, так как на прямой бесконечно много точек). Если уже поставлено n красных точек на прямой, то прибавление одной новой точки на этой же прямой увеличивает количество мест, куда можно поставить красную точку, чтобы с уже поставленными она образовала правильный треугольник, на 2n (новая точка с каждой из старых - это одна сторона, к ней можно добавить двумя способами вершину правильного треугольника). Итак, количество мест, куда можно поставить точку, чтобы образовался правильный треугольник, после постановки (n+1)-й красной точки равно сумме арифметической прогрессии 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1). Число синих точек после этого хода становится равным 10(n+1), что при n>10 уже меньше, чем число возможных мест для красной точки, создающей правильный треугольник. Тем самым, у первого после 10-го хода всегда есть возможность добиться цели. На рисунке проиллюстрирована реакция второго игрока на фактические угрозы. В этом случае игра заканчивается уже после седьмого хода первого игрока.



Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти