Сколько сторон в многоугольнике?

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
26.08.2020 12:21
Сколько сторон в многоугольнике?
Условие

В выпуклом многоугольнике длина одной из сторон равна 1, а длины всех диагоналей – целые числа.
Сколько сторон может иметь такой многоугольник?


Пусть AB = 1. Рассмотрите вершину не соседнюю ни с A, ни с B




Ответ: такой многоугольник может иметь 4 или 5 сторон.
Рассмотрим точку D – вершину не соседнюю ни с A, ни с B.
AD и BD – диагонали многоугольника, их длины – целые числа.
|AD – BD| < 1 => AD = BD => точка D лежит на серединном перпендикуляре к стороне AB =>
на этом же перпендикуляре лежат все вершины, не соседние ни с A, ни с B =>
такая вершина только одна => число сторон многоугольника не больше пяти.

Пример пятиугольника ABCDE, удовлетворяющего условиям задачи приведен на рисунке.
AB = 1. Длины диагоналей выражаются целыми числами: CE = 1; AC = BE = 2; AD = BD = 3.

Пример четырехугольника, удовлетворяющего условиям задачи – прямоугольник ABCE




Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти