123456789 – 2

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеИщем преподавателя для углубленного обучения статистическим методам29.05.2020 13:22
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
10.09.2020 19:01
123456789 – 2
Условие

а) Можно ли составить девятизначное число, все цифры которого различны и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, обладающее следующим свойством:
– если стереть в нем цифру 2, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 2;
– если стереть в нем цифру 3, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 3;

– если стереть в нем цифру 9, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 9?
б) Можно ли составить десятизначное число, все цифры которого различны и равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, обладающее указанным свойством?
Если да, то найти наименьшее такое число


а) нет;
б) да, например, 5148679320




Ответ: а) нет; б) да, наименьшее число равно 1234795680
а) нет – потому, что нельзя обеспечить делимость на 5.
б) С учетом а) очевидно, что в конце числа должна стоять цифра 0.
Это гарантирует делимость на 5 и на 2.
Понятно, что делимость на 3, 6, и 9 обеспечивается автоматически.
Осталось подобрать число, которое будет давать делимость на 4, 7, 8.
Попробуем построить число, которое начинается с комбинации 12345.
Будем рассматривать не само искомое число, а число без цифры 7 (которое должно делиться на 7).
В этом числе цифра 6 должна обязательно находиться на 7-м или 8-м местах, а на 8-м месте – цифра 6 или 8.
Но числа 12345896, 12345968 и 12345986, удовлетворяющие этому условию не делятся на 7.
Тогда, по-видимому, искомое число начинается с комбинации 12347 и далее идет цифра 8 или 9.
Числа 12348596 и 12348956 не делятся на 7.
Число 12349568 делится на 7.
Соответствующее ему полное число 1234795680 удовлетворяет условиям задачи и является наименьшим среди таких чисел.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти