а) Можно ли составить девятизначное число, все цифры которого различны и равны 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, обладающее следующим свойством: – если стереть в нем цифру 2, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 2; – если стереть в нем цифру 3, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 3; … – если стереть в нем цифру 9, оставшееся восьмизначное число будет делиться на 9? б) Можно ли составить десятизначное число, все цифры которого различны и равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, обладающее указанным свойством? Если да, то найти наименьшее такое число
а) нет; б) да, например, 5148679320
Ответ: а) нет; б) да, наименьшее число равно 1234795680 а) нет – потому, что нельзя обеспечить делимость на 5. б) С учетом а) очевидно, что в конце числа должна стоять цифра 0. Это гарантирует делимость на 5 и на 2. Понятно, что делимость на 3, 6, и 9 обеспечивается автоматически. Осталось подобрать число, которое будет давать делимость на 4, 7, 8. Попробуем построить число, которое начинается с комбинации 12345. Будем рассматривать не само искомое число, а число без цифры 7 (которое должно делиться на 7). В этом числе цифра 6 должна обязательно находиться на 7-м или 8-м местах, а на 8-м месте – цифра 6 или 8. Но числа 12345896, 12345968 и 12345986, удовлетворяющие этому условию не делятся на 7. Тогда, по-видимому, искомое число начинается с комбинации 12347 и далее идет цифра 8 или 9. Числа 12348596 и 12348956 не делятся на 7. Число 12349568 делится на 7. Соответствующее ему полное число 1234795680 удовлетворяет условиям задачи и является наименьшим среди таких чисел.
