Куб суммы цифр

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
04.10.2020 12:19
Куб суммы цифр
Условие

Найти все четырехзначные числа, удовлетворяющие условию: каждое число равно кубу суммы своих цифр


$1000\cdot a + 100\cdot b + 10\cdot c + d = (a + b + c + d)^3$




Ответ: $5832 = (5 + 8 + 3 + 2)^3, 4913 = (4 + 9 + 1 + 3)^3$
Пусть $a, b, c, d $ – цифры искомого числа.
$1000\cdot a + 100\cdot b + 10\cdot c + d = (a + b + c + d)^3$
$999\cdot a + 99\cdot b + 9\cdot c = (a + b + c + d)^3 – (a + b + c + d)\:\:\:\:$ (1)
Отсюда $(a + b + c + d)$ кратно 9 или $(a + b + c + d – 1)$ кратно 9 или $(a + b + c + d + 1)$ кратно 9.
Таким образом, величина $(a + b + c + d)$ может принимать следующие значения: 8, 9, 10, 17, 18, 19, 26, 27, 28.
Для этих значений (a + b + c + d) надо попытаться решить уравнение (1).
Пусть $(a + b + c + d) = 18$
$111\cdot a + 11\cdot b + c = (183 – 18)/9 = 646$
$646 = 111\cdot 5 + 11\cdot 8 + 3 \:\:\rightarrow\:\: d = 18 – 5 – 8 – 3 = 2$
Пусть $(a + b + c + d) = 17$
$111\cdot a + 11\cdot b + c = (173 – 17)/9 = 544$
$544 = 111·4 + 11·9 + 1 \:\:\rightarrow\:\: d = 17 – 4 – 9 – 1 = 3$
Для других значений $(a + b + c + d)$ решить в цифрах уравнение (1) не удается

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти