Александр и Борис играют в следующую игру. На доске написан квадратный трехчлен $F(x) = x^2 + 12x + 41$. При своем ходе Александр по своему усмотрению изменяет на единицу (увеличивает или уменьшает) коэффициент при $x$. При своем ходе Борис увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член. Борис выигрывает, если написанный на доске многочлен $F(x)$ (после хода любого из игроков) имеет целый корень. Сможет ли Борис гарантированно выиграть при а) $m = 2$ б) $m = 3$?
а) Борис сможет обеспечить $F(1) = 0$. б) Рассмотрите делимость $F(x)$ на три
Ответ: а) Да б) Нет
а) Борис сможет за конечное количество ходов добиться $F(1) = 0$. Вначале $F(1) = 1 + 12 + 41 = 44$. Далее каждым своим ходом Борис может уменьшать $F(1)$ и добиться, чтобы (после его хода) $–1 \leq F(1) \leq 1$. Если Александр сделает $F(1)$ равным нулю (или оно уже равно нулю), то Борис сразу выиграл. Иначе Александр вынужден сделать $F(1) = –2$ или $F(1) = 2$ и опять-таки Борис выигрывает.
б) Стратегия Александра – держать коэффициент при $x$ равным 10 или 11. В этом случае значение многочлена $F(x)$ будет не кратно трем и, следовательно, не равно нулю. Действительно, многочлены $F(x) = x^2 + 10x + 2 + 3k$ и $F(x) = x^2 + 11x + 2 + 3k$ не кратны трем при любом целом $x$. При $x = 3n$ остаток от деления $F(x)$ на три равен 2; при $x = 3n + 1$ остаток от деления $F(x)$ на три составляет 1 и 2, соответственно; При $x = 3n + 2$ остаток от деления $F(x)$ на три составляет 2 и 1, соответственно
Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.10.2020 00:25.
