Игра «Квадратный трехчлен»

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
14.10.2020 19:17
Игра «Квадратный трехчлен»
Условие

Александр и Борис играют в следующую игру.
На доске написан квадратный трехчлен $F(x) = x^2 + 12x + 41$.
При своем ходе Александр по своему усмотрению изменяет на единицу (увеличивает или уменьшает) коэффициент при $x$.
При своем ходе Борис увеличивает или уменьшает на фиксированное число $m$ свободный член.
Борис выигрывает, если написанный на доске многочлен $F(x)$ (после хода любого из игроков) имеет целый корень.
Сможет ли Борис гарантированно выиграть при а) $m = 2$ б) $m = 3$?


а) Борис сможет обеспечить $F(1) = 0$.
б) Рассмотрите делимость $F(x)$ на три




Ответ: а) Да б) Нет

а) Борис сможет за конечное количество ходов добиться $F(1) = 0$.
Вначале $F(1) = 1 + 12 + 41 = 44$.
Далее каждым своим ходом Борис может уменьшать $F(1)$ и добиться, чтобы (после его хода) $–1 \leq F(1) \leq 1$.
Если Александр сделает $F(1)$ равным нулю (или оно уже равно нулю), то Борис сразу выиграл.
Иначе Александр вынужден сделать $F(1) = –2$ или $F(1) = 2$ и опять-таки Борис выигрывает.

б) Стратегия Александра – держать коэффициент при $x$ равным 10 или 11.
В этом случае значение многочлена $F(x)$ будет не кратно трем и, следовательно, не равно нулю.
Действительно, многочлены $F(x) = x^2 + 10x + 2 + 3k$ и $F(x) = x^2 + 11x + 2 + 3k$ не кратны трем при любом целом $x$.
При $x = 3n$ остаток от деления $F(x)$ на три равен 2;
при $x = 3n + 1$ остаток от деления $F(x)$ на три составляет 1 и 2, соответственно;
При $x = 3n + 2$ остаток от деления $F(x)$ на три составляет 2 и 1, соответственно




Редактировалось 1 раз(а). Последний 17.10.2020 00:25.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти