Олимпийские кольца

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
15.11.2020 20:54
Олимпийские кольца
Условие

Внутри пяти олимпийских колец есть 9 областей.

Требуется разместить в этих областях цифры от одной до девяти таким образом, чтобы сумма чисел (цифр) в каждом кольце была одинакова.
Какие значения может принимать эта сумма?


Введем следующие обозначения. Обозначим сумму в каждом кольце $N$ (очевидно это целое число), а также

Тогда справедливо следующее $N = a + b = b + c + d = d + e + f = f + g + h = h + i$.
Сумма цифр от одного до девяти равна 45.
Тогда $N = \frac{45}{5} + \frac{b + d + f + h}{5}$.
Сумма различных четырех цифр может принимать следующие значения, кратные пяти: 10, 15, 20, 25, 30.




Ответ: 11, 13, 14
Введем следующие обозначения.
Обозначим сумму в каждом кольце N (очевидно это целое число), а также

Тогда справедливо следующее $N = a + b = b + c + d = d + e + f = f + g + h = h + i$..
Сумма цифр от одного до девяти равна 45.
Тогда $N = \frac{45}{5} + \frac{b + d + f + h}{5}$.
Сумма различных четырех цифр может принимать следующие значения, кратные пяти: 10, 15, 20, 25, 30.
Соответственно, $11 ≤ N ≤ 15$.
Легко понять, почему $N$ не может принять значение, равное 15.
В этом случае очевидно $b + d + f + h = 30$ и $b, d, f, h = 6, 7, 8, 9$ (в любом порядке).
И для любого $b$ из этого списка $a = 15 – b$, то есть цифра $(15 – b)$ должна стоять одновременно на месте $a$ и на одном из мест $d, f, h$, что невозможно.
Сложнее объяснить, почему $N$ не может принять значение, равное 12.
В этом случае $b + d + f + h = 15$.
Набор $b, d, f, h$ содержит либо цифру 3, либо цифры 1 и 2 (либо и то, и другое).
Когда набор $b, d, f, h$ содержит цифру 3, сумма остальных трех цифр равна 12.
Хотя бы две из них находятся в одном круге.
Пусть, например, $d = 3$ и $b + f + h = 12$.
Тогда $b = g = 12 – f – h$, что невозможно.
Пусть набор $b, d, f, h$ содержит цифры 1 и 2.
Тогда сумма остальных двух цифр набора равна 12 и они стоят обязательно на местах $b$ и $h$.
Тогда $a = 12 – b = h$, что невозможно.
Оставшиеся 3 комбинации с $N = 11, 13, 14$ реализуемы.



Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти