Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие. Известно, что если n - хорошее, то и число n + 6 - хорошее, а если число m - плохое, то и число m + 15 - плохое. Может ли среди первых 200 чисел быть ровно 100 хороших?
Рассмотрите остатки от деления на три
Ответ - Нет, не может. Докажем методом от противного два утверждения: 1) если число k - хорошее, то число k + 3 также хорошее 2) если число k - плохое, то число k + 3 также плохое. В первом случае, пусть число k - хорошее, а число k + 3 - плохое. Тогда число k + 18 одновременно должно быть и хорошим, и плохим - противоречие. Во втором случае если число k - плохое, а число k + 3 - хорошее, то число k + 15 одновременно является и хорошим, и плохим, чего быть не может. Из доказанных утверждений следует, что в каждой тройке чисел вида 3k + 1, 3k + 2 и 3k + 3, (k = 0, 1, ...) одно и то же количество хороших чисел, а значит среди первых 200 чисел натурального ряда не может быть ровно 100 хороших чисел.