Хорошие и плохие числа

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
28.11.2020 22:10
Хорошие и плохие числа
Условие

Все натуральные числа поделены на хорошие и плохие.
Известно, что если n - хорошее, то и число n + 6 - хорошее, а если число m - плохое, то и число m + 15 - плохое.
Может ли среди первых 200 чисел быть ровно 100 хороших?


Рассмотрите остатки от деления на три




Ответ - Нет, не может.
Докажем методом от противного два утверждения:
1) если число k - хорошее, то число k + 3 также хорошее
2) если число k - плохое, то число k + 3 также плохое.
В первом случае, пусть число k - хорошее, а число k + 3 - плохое.
Тогда число k + 18 одновременно должно быть и хорошим, и плохим - противоречие.
Во втором случае если число k - плохое, а число k + 3 - хорошее, то число k + 15 одновременно является и хорошим, и плохим, чего быть не может.
Из доказанных утверждений следует, что в каждой тройке чисел вида 3k + 1, 3k + 2 и 3k + 3, (k = 0, 1, ...) одно и то же количество хороших чисел, а значит среди первых 200 чисел натурального ряда не может быть ровно 100 хороших чисел.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти