Игра с палкой

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
06.12.2020 20:54
Игра с палкой
Условие

Александр и Борис играют в следующую игру.
Александр ломает длинную палку на две части (возможно, неравные), затем Борис ломает одну из двух частей на две части, затем Александр ломает на две части одну из трех образовавшихся частей и т.д.
Выигрывает тот, кто сумеет собрать четыре куска палки, длины которых образуют арифметическую прогрессию.
Кто выиграет при правильной игре?


Для арифметической прогрессии $ a_1 + a_4 = a_2 + a_3 $




Ответ: Выиграет Александр.
Обозначим исходную длину палки как $4a$.
Первым ходом Александр ломает палку на две равные части, каждая длиной $2a$.
Борис ломает одну из частей на части длиной $(a – b)$ и $(a + b)$ $(0 < b < a)$.
Далее Александр ломает оставшийся кусок длиной $2a$ на части $(a – \frac{b}{3})$ и $(a + \frac{b}{3})$ и тем самым выигрывает.
Легко проверить, что части длиной ${(a – b)}, (a – \frac{b}{3}), (a + \frac{b}{3}), {(a + b)}$ образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = a – b$ и $d = \frac{2b}{3}$




Редактировалось 1 раз(а). Последний 06.12.2020 20:57.
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти