Александр и Борис играют в следующую игру. Александр ломает длинную палку на две части (возможно, неравные), затем Борис ломает одну из двух частей на две части, затем Александр ломает на две части одну из трех образовавшихся частей и т.д. Выигрывает тот, кто сумеет собрать четыре куска палки, длины которых образуют арифметическую прогрессию. Кто выиграет при правильной игре?
Ответ: Выиграет Александр. Обозначим исходную длину палки как $4a$. Первым ходом Александр ломает палку на две равные части, каждая длиной $2a$. Борис ломает одну из частей на части длиной $(a – b)$ и $(a + b)$$(0 < b < a)$. Далее Александр ломает оставшийся кусок длиной $2a$ на части $(a – \frac{b}{3})$ и $(a + \frac{b}{3})$ и тем самым выигрывает. Легко проверить, что части длиной ${(a – b)}, (a – \frac{b}{3}), (a + \frac{b}{3}), {(a + b)}$ образуют арифметическую прогрессию с $a_1 = a – b$ и $d = \frac{2b}{3}$
Редактировалось 1 раз(а). Последний 06.12.2020 20:57.