Отношения в треугольнике

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа20.10.2020 18:59
20.12.2020 19:42
Отношения в треугольнике
Условие

В треугольнике АВС дано $\frac{b+c}{11} = \frac{a+c}{12} = \frac{a+b}{13}$.
Найти отношение косинусов углов треугольника $cos(A) : cos(B) : cos(C)$.


Можно составить однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными $a,b,c$




Ответ: $cos(A) : cos(B) : cos(C) = 7 : 19 : 25$.
Составим однородную систему трех уравнений с тремя неизвестными $a,b,c$:

$\left\{\begin{array}{rl} –11a+12b+c&=0\\–11a+2b+13c&=0\\a – 12b + 13c& = 0\end{array}\right.$

Решение системы: $a = 7k, b = 6k, c = 5k$
Отсюда по теореме косинусов $cos{(A)} = \frac{1}{5}; cos{(B)} = \frac{19}{35}; cos{(C)} = \frac{5}{7}$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти