Сколько нулей?

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеСтуденты и преподаватели мехмата МГУ могут бесплатно получать лицензию на Wolfram Mathematica25.11.2020 00:55
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
19.01.2021 23:08
Сколько нулей?
Условие

Каким наибольшим количеством нулей может заканчиваться десятичная запись числа $Х$, если $Х = 1^n + 2^n + 3^n +4^n$, где $n$ – натуральное число?


Рассмотрите остаток от деления $Х$ на 8




Ответ: двумя нулями.
При $n=3 \; Х=100$.
Докажем, что число $Х$ не может заканчиваться тремя нулями.
Для этого достаточно показать, что $Х$ не кратно 8.
Если $n>2 \; (n=1 \; X=10; n=2 \; X=30)$, то каждое из чисел $2^n$ и $4^n$ кратно 8, число $1^n = 1$ дает при делении на 8 остаток 1, а число $3^n$ при делении на 8 дает либо остаток 3 (при нечетных $n$), либо остаток 1 (при четных $n$).
Следовательно, число $Х$ при делении на 8 имеет остаток 4 или 2, то есть тремя нулями оканчиваться не может.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти