То ли медиана, то ли биссектриса, то ли высота

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеМатематик-алгоритмист (Vehicle Routing Problem) – удаленная работа03.06.2020 17:58
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
31.01.2021 01:56
То ли медиана, то ли биссектриса, то ли высота
Условие

В треугольнике АВС ${sin(A)} \cdot {sin(B)} = sin^2(\frac{C}{2})$.
На стороне AB взята точка D таким образом, что $AD \cdot BD = CD^2$.
Установить является ли CD медианой или биссектрисой или высотой в треугольнике АВС


CD – биссектриса.
Применить теорему синусов в треугольниках ACD и BCD




Ответ: CD – биссектриса.
Обозначим $\angle DCA = \alpha$.



По теореме синусов:
$\frac{AD}{sin(\alpha)} = \frac{CD}{sin(A)}$.
$\frac{BD}{sin(C – \alpha)} = \frac{CD}{sin(B)}$.
Далее $\frac{AD \cdot BD}{sin(\alpha) \cdot sin(C – \alpha)} = \frac{CD^2}{sin(A) \cdot sin(B)}$.
Получаем $\frac{1}{2} \cdot ({cos(C – 2\alpha)} – {cos(C)}) = {sin(\alpha)} \cdot {sin(C – \alpha)} = {sin(A)} \cdot {sin(B)} = sin^2(\frac{C}{2})$.
Отсюда ${cos(C – 2 \alpha)} = 1 \; \rightarrow \; \alpha = \frac{C}{2}$


Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти