Что-то типа теоремы Ферма

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеTinkoff Business Analyst / Product Owner19.02.2021 19:06
17.02.2021 19:29
Что-то типа теоремы Ферма
Условие

При каких натуральных $n$ существуют три целых числа $x, y, z$, такие, что $x + y + z = 0$, а число $x^n + y^n + z^n$ – простое?


Рассмотрите четность и делимость на три чисел $x, y, z$




Ответ: при всех четных $n$
При четном $n$ годится $x = 1, y = -1, z = 0$, тогда $x + y + z = 0, x^n + y^n + z^n = 2$.
Пусть $x$ – целое, а $n$ – нечетное.
Запишем $x = 3t$ или $x = 3t \pm 1$, в любом случае $(x^n – x)$ делится на 3.
Кроме того, $(x^n – x)$ – четно.
Получаем $x^n + y^n + z^n = x^n + y^n + z^n – (x + y + z) = (x^n – x) + (y^n – y) + (z^n – z)$ делится на 6, то есть не является простым

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти