Стирание наобум

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
ОбъявлениеЧисло «Пи» рассчитано с рекордной точностью на «бюджетном» компьютере27.08.2021 22:26
19.10.2021 21:27
Стирание наобум
Условие

На доске записаны все целые числа от 1 до 200.
Наугад стирают 98 чисел.
Верно ли, что среди оставшихся можно указать несколько (не меньше двух), таких, что их сумма также имеется на доске?
А, если стереть 99 чисел?


Обозначим оставшиеся числа $a_1 < a_2 < … < a_{102}$.
Рассмотрите две возрастающие последовательности: $a_2 < a_3 < … < a_{102}$ и $a_2 - a_1 < a_3 - a_1 < … < a_{102} - a_1$



Ответ: первое утверждение верно, второе неверно
Обозначим оставшиеся числа $a_1 < a_2 < … < a_{102}$.
Рассмотрим две возрастающие последовательности: $a_2 < a_3 < … < a_{102}$ и $a_2 - a_1 < a_3 - a_1 < … < a_{102} - a_1$
Эти две последовательности содержат 101 + 101 = 202 числа в диапазоне от 1 до 200.
Эти числа не могут быть все различные.
Существует хотя бы одна пара равных чисел, по одному из каждой последовательности $a_m = a_n – a_1$.
Таким образом, на доске осталось три числа $a_1, a_m, a_n$, такие, что $a_n = a_1 + a_m$.
С другой стороны, если стереть 99 наименьших чисел, то среди оставшихся даже сумма двух наименьших чисел 100 + 101 = 201 превышает наибольшее из оставшихся чисел.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти