Уравнение шестой степени

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
21.11.2021 20:04
Уравнение шестой степени
Условие

Решить в целых числах уравнение
$x^6 + 3x^3 + 1 = y^2$


Рассмотрите $x > 0$ и $x \leq –2$



Ответ: $x = 0, y = \pm1$
Рассмотрим $x > 0$.
$(x^3 + 1)^2 = x^6 + 2x^3 + 1 < x^6 + 3x^3 + 1 = y^2 < x^6 + 4x^3 + 4 = (x^3 + 2)^2$.
Получаем, что $y$ не может быть целым, так как $x^3 + 1 < |y| < x^3 + 2$.
Аналогично, рассмотрим $x \leq –2$, тогда $x^3 + 3 < 0$.
Далее $(x^3 + 2)^2 = x^6 + 4x^3 + 4 < x^6 + 3x^3 + 1 = y^2 < x^6 + 2x^3 + 1 = (x^3 + 1)^2$.
Получаем $|x^3 + 2| < |y| < |x^3 + 1|$.
При $x = –1$ имеем $–1 = y^2$, что невозможно.
Остается $x = 0 \; \rightarrow \; y^2 = 1$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти