Натуральные числа в виде суммы двух взаимно простых

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеПостдок позиция по математике в Гетеборге (Швеция)10.09.2021 19:11
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
05.12.2021 22:24
Натуральные числа в виде суммы двух взаимно простых
Условие

Найти все натуральные числа, которые нельзя представить в виде суммы двух взаимно простых чисел, больших единицы


Рассмотрите отдельно нечетные числа, числа, кратные 4 и четные числа, не кратные 4



Ответ: 1, 2, 3, 4, 6
Любое нечетное число $k = 2n + 1 > 3$ легко представить в нужном виде: $k = n + (n + 1)$ или $k = 2 + (2n – 1)$.
Четное число, кратное 4, $k = 4n$ представляется в виде суммы чисел $2n + 1$ и $2n – 1$. Последнее число больше 1 при $k > 4$.
Число $k$ вида $4n + 2$ представляется в виде суммы $(2n + 3) + (2n – 1)$.
Эти числа взаимно просты, поскольку их разность равна 4, а 4 взаимно просто с любыми нечетными числами.
Последнее число больше 1 при $k > 6$.
Таким образом, мы представили в нужном виде все числа, кроме 1, 2, 3, 4 и 6

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти