Игра «Квадратное уравнение»

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
16.12.2021 00:05
Игра «Квадратное уравнение»
Условие

Александр и Борис играют в следующую игру.
Александр составляет квадратное уравнение $x^2 + ax + b = 0$, решает его и сообщает Борису набор из четырех чисел: коэффициенты $a$ и $b$ и корни $x_1$ и $x_2$ уравнения, не уточняя, какие из них именно коэффициенты, а какие – корни уравнения.
Всегда ли Борис сможет восстановить уравнение?
Требуется, чтобы все 4 числа были различны.


По теореме Виета $x_1 + x_2 + a = 0$



Ответ: Если все 4 числа различны, то восстановить уравнение можно.
Действительно, пусть все 4 числа различны.
Тогда по теореме Виета имеем: $x_1 + x_2 + a = 0$.
Предположим, что указанное равенство выполняется также для какой-то другой тройки чисел, например, $x_1 + a + b = 0 \; \rightarrow \; b = x_2$ – противоречие.
Итак, сразу имеем набор из трех чисел, два из которых корни.
Четвертое число равно $b$ и так как $x_1x_2 = b$, то мы легко определяем $a$.
Отметим, что набору, включающему одинаковые числа, может соответствовать несколько уравнений.
Например, набору –1, 0, 0, 1 соответствуют уравнения $x^2 -x = 0$ и $x^2 + x = 0$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти