Александр и Борис играют в следующую игру. Александр составляет квадратное уравнение $x^2 + ax + b = 0$, решает его и сообщает Борису набор из четырех чисел: коэффициенты $a$ и $b$ и корни $x_1$ и $x_2$ уравнения, не уточняя, какие из них именно коэффициенты, а какие – корни уравнения. Всегда ли Борис сможет восстановить уравнение? Требуется, чтобы все 4 числа были различны.
По теореме Виета $x_1 + x_2 + a = 0$
Ответ: Если все 4 числа различны, то восстановить уравнение можно. Действительно, пусть все 4 числа различны. Тогда по теореме Виета имеем: $x_1 + x_2 + a = 0$. Предположим, что указанное равенство выполняется также для какой-то другой тройки чисел, например, $x_1 + a + b = 0 \; \rightarrow \; b = x_2$ – противоречие. Итак, сразу имеем набор из трех чисел, два из которых корни. Четвертое число равно $b$ и так как $x_1x_2 = b$, то мы легко определяем $a$. Отметим, что набору, включающему одинаковые числа, может соответствовать несколько уравнений. Например, набору –1, 0, 0, 1 соответствуют уравнения $x^2 -x = 0$ и $x^2 + x = 0$
