Простые числа, арифметическая прогрессия

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРазделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года21.08.2021 01:51
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
27.12.2021 12:23
Простые числа, арифметическая прогрессия
Условие

Какова наибольшая длина арифметической прогрессии из натуральных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ с разностью 2, обладающей свойством: $a_k^2 + 1$ простое при всех $k = 1, 2, ..., n$?


Если $a = 5m \pm 2$, то $a^2+1$ делится на 5



Ответ: $n = 3$
Если $a = 5m \pm 2$, то $a^2+1$ делится на 5.
Это число будет простым только при $a = 2$.
Среди чисел $b, b + 2, b + 4, ...$ не более двух подряд идущих чисел, не имеющих вид $5m \pm 2$.
Значит, если в прогрессии не содержится число 2, то $n \leq 2$.
Если $a_1 = 2$, то $n \leq 3$, так как $a_4 = 8 = 5·2 – 2$.
Числа $a_1 = 2, a_2 = 4, a_3 = 6$ дают искомую тройку: 5, 17, 37 – простые числа.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти