Произведение простых чисел

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
ОбъявлениеПостдок позиция по математике в Гетеборге (Швеция)10.09.2021 19:11
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
16.01.2022 19:12
Произведение простых чисел
Условие

Натуральное число $N$ является произведением нескольких различных простых чисел таким образом, что $N$ кратно каждому из этих чисел, уменьшенному на единицу. Найти все такие $N$.


Вы нашли $N = 6$. Это хорошо. Но, есть еще и другие числа.



Ответ: $N = 6, 42, 1806$.
Пусть $N = P_1\cdotP_2\cdot ... \cdot P_k$.
Очевидно, что $N$ – четное.
Отсюда $P_1 = 2$.
N имеет единственный делитель в интервале $(1; P_2)$, равный $P_2 - 1$.
Тогда $2 = P_2 - 1 \;\rightarrow\; P_2 = 3$.
При $k = 2 \; N = 2\cdot3 = 6$.
При $k \geq 3 \; N$ имеет единственный делитель в интервале $(P_2;P_3)$, равный $P_3 - 1$.
Но $2 \cdot 3 = 6$ принадлежит этому интервалу $\;\rightarrow\; 6 = P_3 - 1 \;\rightarrow\; P_3 = 7$.
При $k = 3 \; N = 2\cdot3\cdot7 = 42$.
При $k\geq4 \; N$ имеет единственный делитель в интервале $(P_3;P_4)$, равный $P_4-1$.
Аналогично $P_4 = 2\cdot7 + 1 = 15$ – составное число, не годится или $P_4 = 2\cdot3\cdot7 + 1 = 43$ – годится.
Итак при $k = 4 \; N = 2\cdot3\cdot7\cdot43 = 1806$.
При $k\geq5$ перебираем:
$P_5 = 2\cdot43 + 1 = 87 = 3\cdot29$ или
$P_5 = 2\cdot3\cdot43 + 1 = 259 = 7\cdot37$ или
$P_5 = 2\cdot7\cdot43 + 1 = 603 = 3^2\cdot67$ или
$P_5 = 2\cdot3\cdot7\cdot43 + 1 = 1807 = 13\cdot139$
и убеждаемся, что все эти числа составные и, таким образом $k\leq4$.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти