Натуральное число $N$ является произведением нескольких различных простых чисел таким образом, что $N$ кратно каждому из этих чисел, уменьшенному на единицу. Найти все такие $N$.
Вы нашли $N = 6$. Это хорошо. Но, есть еще и другие числа.
Ответ: $N = 6, 42, 1806$. Пусть $N = P_1\cdotP_2\cdot ... \cdot P_k$. Очевидно, что $N$ – четное. Отсюда $P_1 = 2$. N имеет единственный делитель в интервале $(1; P_2)$, равный $P_2 - 1$. Тогда $2 = P_2 - 1 \;\rightarrow\; P_2 = 3$. При $k = 2 \; N = 2\cdot3 = 6$. При $k \geq 3 \; N$ имеет единственный делитель в интервале $(P_2;P_3)$, равный $P_3 - 1$. Но $2 \cdot 3 = 6$ принадлежит этому интервалу $\;\rightarrow\; 6 = P_3 - 1 \;\rightarrow\; P_3 = 7$. При $k = 3 \; N = 2\cdot3\cdot7 = 42$. При $k\geq4 \; N$ имеет единственный делитель в интервале $(P_3;P_4)$, равный $P_4-1$. Аналогично $P_4 = 2\cdot7 + 1 = 15$ – составное число, не годится или $P_4 = 2\cdot3\cdot7 + 1 = 43$ – годится. Итак при $k = 4 \; N = 2\cdot3\cdot7\cdot43 = 1806$. При $k\geq5$ перебираем: $P_5 = 2\cdot43 + 1 = 87 = 3\cdot29$ или $P_5 = 2\cdot3\cdot43 + 1 = 259 = 7\cdot37$ или $P_5 = 2\cdot7\cdot43 + 1 = 603 = 3^2\cdot67$ или $P_5 = 2\cdot3\cdot7\cdot43 + 1 = 1807 = 13\cdot139$ и убеждаемся, что все эти числа составные и, таким образом $k\leq4$.
