Александр и Борис играют в следующую игру: они по очереди изменяют один из коэффициентов $a$ или $b$ квадратного трёхчлена $x^2 + ax + b$: Александр на 1, Борис – на 1 или на 3. Борис выигрывает, если после хода одного из игроков получается трёхчлен, имеющий целые корни. Верно ли, что Борис может выиграть при любых начальных целых коэффициентах $a$ и $b$ независимо от игры Александра?
Борис сможет добиться, чтобы после его хода было $b = 1, \; b = 2$ или $b =3$.
Ответ: Да, верно Борис сможет добиться, чтобы после его хода было $b = 1, \; b = 2$ или $b =3$. После этого Александр вынужден сделать $b = 2$ (или не менять $b$, если оно уже равно двум). После этого Александр не может менять $b$, в противном случае Борис может сразу получить уравнение $x^2 + ax = 0$, имеющее целые корни. Далее Борис может получить одно из уравнений $x^2 + x + 2 = 0, \; x^2 + 2x + 2 = 0, \; x^2 + 3x + 2 = 0$. Уравнение $x^2 + 3x + 2 = 0$ имеет целые корни (победа Бориса).Далее можно рассмотреть следующие варианты: $x^2 + x + 2 = 0$ Александр $x^2 + 2x + 2 = 0$ Борис $x^2 + 2x + 1 = 0$ (победа Бориса) $x^2 + x + 2 = 0$ Александр $x^2 + 2 = 0$ Борис $x^2 + 3x + 2 = 0$ (победа Бориса) $x^2 + 2x + 2 = 0$ Александр $x^2 + x + 2 = 0$ Борис $x^2 + x - 1 = 0$ Александр $x^2 + 2x - 1 = 0$ Борис $x^2 + 2x = 0$ (победа Бориса)
