Сумма любых двух чисел нацело делится на их разность

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеМатематики, программисты, репетиторов (платформа SapioX)28.01.2021 12:47
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеPostdoc: Stochastics and algorithmics behind network problems (Netherlands)08.10.2021 08:36
04.05.2022 19:59
Сумма любых двух чисел нацело делится на их разность
Условие

Существуют ли пять натуральных чисел, таких, что сумма любых двух из них нацело делится на их разность?


Три таких числа: 1, 2, 3
Четыре таких числа: 6, 7, 8, 9



Ответ: Да, существуют. Например, 504, 510, 511, 512, 513
Укажем возможный алгоритм получения таких чисел.
Пусть уже найдена система из $k$ чисел: $a_1, …, a_k$, удовлетворяющая условию задачи.
Обозначим $A$ = НОК($a_1, …, a_k$).
Тогда система: $A, A + a_1, ..., A + a_k$ содержит $k + 1$ число и удовлетворяет условиям задачи.
$k$ = 3 {1, 2, 3}
$k$ = 4 {6, 7, 8, 9} НОК(1, 2, 3) = 6
$k$ = 5 {504, 510, 511, 512, 513} НОК(6, 7, 8, 9) = 504
Доказательство
Пусть $x = A + a_i, y = A + a_j$.
$ \frac{x + y}{x- y} = \frac{2A + a_i + a_j}{a_i-a_j} = \frac{\frac{A}{a_j}(a_j-a_i)}{a_i-a_j} + \frac{\frac{A}{a_j}(a_j+a_i)}{a_i-a_j} + \frac{a_j+a_i}{a_i-a_j}$
Все эти три дроби являются целыми числами

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти