Числа с одинаковой суммой цифр

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеHuawei - Research scientist (math)22.06.2021 11:25
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
11.05.2022 23:40
Числа с одинаковой суммой цифр
Условие

Существуют ли $19$ попарно различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр, таких, что их сумма равна $2022$?


Рассмотрите остатки от деления на $9$



Ответ: Нет, не существуют
Пусть сумма цифр каждого числа равна $S = 9k + n, n = 0, 1, …, 8$.
Тогда все эти числа имеют остаток $n$ при делении на 9 и имеем $19n = 18n + n = 2022(mod 9) = 6$.
То есть $S = 6, 15, 24, ...$
Пусть $S = 6$.
Рассмотрим $19$ наименьших чисел с суммой цифр, равной $6$.
Это $6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, 204, 213, 222, 231, 240, 303$
Их сумма равна $2409 > 2022$
Пусть $S = 15$.
Уже сумма $15$ наименьших чисел с суммой цифр, равной $15$ составляет
$69 + 78 + 87 +96 + 159 + 168 + 177 + 186 + 195 + 249 + 258 +267 +276 = 2265 > 2022$
Пусть $k \geq 2$, то есть $S \geq 24$.
Наименьшее число с такой суммой цифр равно $699$.
Очевидно, сумма $19$ таких чисел будет больше $2022$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти