Уравнение четвертой степени

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеSenior lecturer in Mathematics Linkoping (Швеция)04.09.2021 23:16
ОбъявлениеРабота автором топиков и проектов на математическом треке Hyperskill24.09.2021 21:18
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2022/202314.10.2021 12:28
17.06.2022 20:37
Уравнение четвертой степени
Условие

Решить уравнение $4x^4 – ax^3 + bx^2 – cx + 5 = 0$, если известно, что оно имеет четыре вещественных положительных корня $r_1, r_2, r_3, r_4 (r_1 < r_2 < r_3 < r_4)$, причем $\frac{r_1}{2} + \frac{r_2}{4} + \frac{r_3}{5} + \frac{r_4}{8} = 1$.


$r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 = \frac{5}{4}$



Ответ: $r_1=\frac{1}{2}, r_2=1, r_3=\frac{5}{4}, r_4=2$
$r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 = \frac{5}{4}$
По свойству сравнения среднего арифметического и среднего геометрического
$1 = \frac{r_1}{2} + \frac{r_2}{4} + \frac{r_3}{5} + \frac{r_4}{8} \geq 4 \cdot (\frac{r_1}{2} \cdot \frac{r_2}{4} \cdot \frac{r_3}{5} \cdot \frac{r_4}{8})^{\frac{1}{4}}$
$r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 \cdot r_4 \leq \frac{5}{4}$
Равенство достигается только, когда составляющие равны
$\frac{r_1}{2} = \frac{r_2}{4} = \frac{r_3}{5} = \frac{r_4}{8}$
Отсюда получаем, что
$r_1=\frac{1}{2}, r_2=1, r_3=\frac{5}{4}, r_4=2$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти