Игра с орехами

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПреподаватель мехмата МГУ удостоен международной премии по математике Presburger Award28.07.2020 01:04
ОбъявлениеПремия для молодых математиков Образовательного фонда «Талант и успех»21.06.2021 00:48
27.07.2022 22:22
Игра с орехами
Условие

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами.
Двое играющих – Александр и Борис – берут по очереди по одному ореху.
Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха.
Если это – три кучки по одному ореху, выигрывает Борис, иначе – Александр.
Начинает Александр.
Кто из игроков может выиграть, как бы ни играл соперник?


Стратегия Александра - следить за кучками из одного и двух орехов.



Ответ: Выигрывает Александр
Александр должен придерживаться следующих правил:
1) Если на столе есть кучка из одного ореха – убрать ее.
2) Не брать из кучек с двумя орехами.
В остальном, ходы Александра могут быть любыми.
Заметим, что число орехов в начале игры нечетно, значит, оно нечетно и перед любым ходом Александра.
Поэтому перед его ходом на доске всегда будет хотя бы одна нечетная кучка, то есть он всегда сможет сделать ход, не нарушая описанных правил.
Теперь заметим, что после первого хода Александра на столе нет кучек из одного ореха.
После любого хода Бориса может появиться не более одной новой такой кучки, которую Александр заберет.
В частности, так будет и в конце игры, то есть Александр выиграет

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти