Наименьший возможный корень квадратного уравнения

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеРазделу «Задачки и головоломки» исполнилось два года21.08.2021 01:51
ОбъявлениеМГУ и Яндекс объявили об открытии на мехмате специализации по анализу данных и машинному обучению24.08.2021 00:17
03.08.2022 20:55
Наименьший возможный корень квадратного уравнения
Условие

Дано квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где $a, b, c$ – натуральные числа, не превосходящие 100.
Также известно, что числа $a, b, c$ попарно отличаются друг от друга не менее, чем на 2.
Какой наименьший корень может иметь такое уравнение?


Может ли такое уравнение иметь корень –7 (минус семь)?



Ответ: –50
Может ли такое уравнение иметь корень –7 (минус семь)?
В этом случае $c$ кратно 7.
Например, уравнение $x^2 + 9x + 14 = 0$ имеет корень –7 (уравнение $x^2 + 8x + 7 = 0$ не удовлетворяет условиям задачи).
Пусть наименьший (отрицательный) корень уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ равен $-p$ и предположим $p \geq 51$.
Подставляем $x = p$, получаем $ap^2 – bp + c = 0$.
Тогда $c$ кратно $p$, но так как $c \leq 100$ и $p \geq 51$, то $c = p$.
$ap – b + 1 = 0$.
$ap = b – 1$.
Так как $p \geq 51$ и $b \leq 100$, то $a = 1$.
Получаем $c = p = b – 1$. Это противоречит условиям задачи.
Значит, $p \leq 50$.
Пример. Уравнение $x^2 + 52x + 100 = 0$ имеет корни –50 и –2.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти