Степени двойки

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
28.08.2022 00:32
Степени двойки
Условие

На каждом из 10 листов бумаги написано несколько чисел, являющихся степенями двойки.
Сумма чисел на всех листах одинакова.
Верно ли, что какая-то из степеней двойки встречается на этих листах не менее 6 раз?


Обозначим сумму чисел на одном листе $N$.Рассмотрите $n$ – наибольшее натуральное число, такое, что $2^n \leq N$



Ответ: Да, верно
Обозначим сумму чисел на одном листе $N$, $n$ – наибольшее натуральное число, такое, что $2^n \leq N$.
Тогда сумма чисел на всех листах равна $10\cdotN$.
Если никакая степень двойки не встречается более 5 раз, то сумма всех чисел не превосходит
$5\cdot(2^n + 2^{n-1} + … + 1) = 5\cdot(2^{n+1} –1) = 10\cdot2^n – 5 < 10\cdotN$
Противоречие

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти