Трехзначное число, которое при делении на 5 и 8 дает равные ненулевые остатки

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
ОбъявлениеML Research Engineer, до $8k/мес net26.01.2024 09:15
30.08.2022 22:52
Трехзначное число, которое при делении на 5 и 8 дает равные ненулевые остатки
Условие

Найти трехзначное натуральное число, большее 700, которое дает равные ненулевые остатки при делении на 5 и 8, и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр


Обозначим искомое число $N = 100a + 10b + c$, остаток от деления $N$ на 5 и 8 обозначим $k$.
Заметим, что $k = 1, 2, 3, 4$.



Ответ: 963
Обозначим искомое число $N = 100a + 10b + c$, остаток от деления $N$ на 5 и 8 обозначим $k$.
Заметим, что $k = 1, 2, 3, 4$.
Число $N – k$ делится на 5 и 8, значит, делится на 40, значит $c = k$.
По условию $2b = a + c$.
Тогда $N = 105a + 6c$.
$N – k = 105a +5c$ делится на 40, то есть $21a +c$ делится на 8 (с учетом $a \geq 7, c \leq 4$).
$a=7 \;\; c=5$ не годится
$a=8$ не годится
$a=9 \;\; c=3$ получаем $N = 963$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти