Рассмотрите остатки от деления $x$ и $y$ на 3

Ответ: x = 2, y = 3
Если ни одно из чисел $x$ и $y$ не делится на 3 и остатки от деления $x$ и $y$ на 3 совпадают, то левая часть делится на 3, а правая - нет.
Если ни одно из чисел $x$ и $y$ не делится на 3 и остатки от деления $x$ и $y$ на 3 различны, то правая часть делится на 3, а левая - нет.
Таким образом, одно из чисел делится на 3, то есть равно трем.
Пусть $x = 3$
$243 – y^3 = 3 + y$
$y\cdot(y^2 + 1) = 240 = 2^4\cdot3\cdot5$
Отсюда $y = 2$ или $y =3$ или $y = 5$ (так как $y$ – простой делитель 240)
Все это не годится.
Пусть $y = 3$
$x^5 – 27 = x + 3$
$x\cdot(x^4-1) = 30 = 2\cdot3\cdot5$
Отсюда $x = 2$ или $x =3$ или $x = 5$ (так как $x$ – простой делитель 30)
Годится только $x = 2$