Существуют ли а) 4 различных натуральных числа, б) 5 различных натуральных чисел, в) 5 различных целых чисел, г) 6 различных целых чисел, таких, что сумма любых трех из них – простое число?
Рассмотрите четность/нечетность и делимость на 3 искомых чисел.
Ответ: а) Да, пример 1, 3, 7, 9; б) Нет; в) Да, пример –9, –3, 15, 25, 31; г) Нет б) Ответ отрицательный. Среди любых пяти натуральных чисел обязательно найдутся либо три числа, имеющих одинаковые остатки при делении на 3, либо три числа, имеющих попарно различные остатки при делении на 3. В обоих случаях сумма таких трех чисел делится на 3. а) Искомые 4 числа – нечетные, представляющие собой две пары чисел. В каждой паре разность чисел кратна 6. Пары имеют различные остатки при делении на 3 Примеры: 1, 3, 7, 9 (пары 1, 7 и 3, 9) 1, 5, 7, 11 1, 7, 9, 21 9, 13, 15, 19 5, 7, 17, 19 (исходные числа также простые) 7, 13, 23, 53 (исходные числа также простые) в) Из вышесказанного следует, что наименьшая сумма трех чисел должна равняться трем. Примеры: –5, 1, 7, 15, 21 –9, 3, 9, 11, 17 –9, –3, 15, 25, 31 г) Пусть найдены искомые числа a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6. Рассмотрим набор пяти чисел a2, a3, a4, a5, a6. Сумма любых трех чисел из этого набора больше трех и сумма некоторых трех чисел из этого набора делится на 3 и, следовательно, является составным числом.
