Показательное уравнение

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
21.10.2022 19:12
Показательное уравнение
Число – палиндром
Условие

Решить в натуральных числах
$3^x + 7 = 2^y$


Рассмотрите остатки от деления на 3 и 4



Ответ: (0; 3), (2;4)
При $x>0$ левая часть сравнима с 1 по модулю 3.
Отсюда $y$ – четно.
Уравнение преобразуется к виду
$3^x + 7 = 4^n$
$4^n - 7$ имеет остаток 1 при делении на 4
Отсюда $x$ – четно.
Получаем уравнение
$3^{2m} + 7 = 2^{2n}$
$(2^n – 3^m)(2^n + 3^m) = 7$
$2^n – 3^m = 1, \;2^n + 3^m = 7$
При $x>0 \;n = 2, m =1$
Отдельно надо рассмотреть $x = 0$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти