С натуральным числом проделывается следующая операция: его последняя цифра отделяется, умножается на 4 и прибавляется к оставшемуся числу (например, из 2023 получается 202 + 12 = 214). С полученным числом проделывается то же самое и т.д. Верно ли, что, если в полученной последовательности встретилось число 1001, то в ней нет ни одного простого числа?
Рассмотрите делимость чисел последовательности на 13
Ответ: Да, верно Из числа $X = 10A + b$ ($A$ – некоторое число; $b$ – последняя цифра числа $X$) получается число $Y = A + 4b$. Тогда $10Y – X = 39b$. Поэтому, если $Y$ делится на 13, то $X$ тоже делится на 13, и, наоборот, если $X$ делится на 13, то и $Y$ делится на 13. Значит, если в последовательности встретилось число $1001 = 13\cdot77$, то все ее члены также делятся на 13. Но самого числа 13 в последовательности нет ни до числа 1001 (из 13 получается снова 13), ни после числа 1001 (из 1001 получается 104, затем 26, затем снова 26). Таким образом, все члены последовательности делятся на 13 и не равны 13, то есть являются составными числами. Число 1001 может быть первым членом последовательности или, например, может быть получено из числа 9971
