Пять чисел и их попарные суммы

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!07.10.2023 13:49
ОбъявлениеML Research Engineer, до $8k/мес net26.01.2024 09:15
21.01.2023 23:23
Пять чисел и их попарные суммы
Условие

На доске написаны пять натуральных (не обязательно различных) чисел.
Вычислили всевозможные попарные суммы этих чисел.
Получилось всего три различных значения: 47, 60 и 73.
Восстановить исходный набор чисел


Среди написанных чисел есть одинаковые



Ответ: 17, 30, 30, 30, 43
Среди написанных чисел есть одинаковые.
Действительно, если все написанные числа разные, то различных попарных сумм должно быть не менее четырёх, например, суммы одного числа с четырьмя остальными.
Значит, среди попарных сумм есть суммы двух одинаковых натуральных чисел.
Такая сумма должна быть чётной, в нашем списке это число 60.
Отсюда следует, что на доске есть число 30 и оно написано не меньше двух раз.
Пар равных чисел, отличных от 30, на доске быть не может, иначе среди попарных сумм было бы ещё одно чётное число.
Обозначим одно из трёх оставшихся чисел через x, тогда среди попарных сумм есть число 30 + x значит, либо x = 47 – 30 = 17, либо x = 73 – 30 = 43.
Наборы 30, 30, 30, 30, 17 и 30, 30, 30, 30, 43 не подходят, так как в них всего две попарные суммы.
Значит, на доске написан набор 17, 30, 30, 30, 43

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти