Квадрат в треугольнике

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!07.10.2023 13:49
ОбъявлениеML Research Engineer, до $8k/мес net26.01.2024 09:15
12.03.2023 23:01
Квадрат в треугольнике
Условие

Треугольник имеет целые длины сторон $a, b, c$, причем известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот.
Верно ли, что $a^2 + b^2 + c^2$ – квадрат целого числа?


Да, верно



Ответ: Да, верно
Обозначим $c$ – наименьшая из сторон треугольника, $S$ – площадь.
Тогда
$\frac{2S}{c} = \frac{2S}{a} + \frac{2S}{b}$
$ab = ac + bc$
Далее
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b – c)^2$, то есть является квадратом целого числа

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти