ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеГранты для студентов и аспирантов мехмата и физфака МГУ на обучение в магистратуре Кембриджа 2023/202428.11.2022 13:56
12.03.2023 23:01
Квадрат в треугольнике
Условие

Треугольник имеет целые длины сторон $a, b, c$, причем известно, что длина одной из его высот равна сумме длин двух других высот.
Верно ли, что $a^2 + b^2 + c^2$ – квадрат целого числа?


Да, верно



Ответ: Да, верно
Обозначим $c$ – наименьшая из сторон треугольника, $S$ – площадь.
Тогда
$\frac{2S}{c} = \frac{2S}{a} + \frac{2S}{b}$
$ab = ac + bc$
Далее
$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b – c)^2$, то есть является квадратом целого числа

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти