Деление с остатком

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
02.04.2023 12:22
Деление с остатком
Условие

Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на все натуральные числа от 2 до 10 включительно дает остаток, не меньший половины делителя


Например, условиям задачи удовлетворяет число $10! – 1$



Ответ: 599
Нетрудно найти некоторые числа, удовлетворяющие условиям задачи.
Например, условиям задачи удовлетворяет число $10! – 1$.
Или достаточно взять $5\cdot7\cdot8\cdot9 – 1 = 2519$.
Оказывается можно найти меньшее число.
Можно показать, что при делении искомого числа на 2 остаток равен 1, при делении на 3 остаток равен 2, при делении на 4 остаток равен 3, при делении на 5 остаток равен 4, при делении на 6 остаток равен 5, при делении на 8 остаток равен 7, при делении на 10 остаток равен 9.
Отсюда следует, что всякое число, удовлетворяющее условию имеет вид $120k – 1$, где $k$ – натуральное число.
Осталось подобрать такое $k$, чтобы остаток от деления $120k – 1$ на 7 и 9 удовлетворял условию.
$k = 1, 2, 3, 4$ не годятся
При $k=5 \;\; 120k – 1 = 599$, остаток от деления 599 на 7 равен 4, остаток от деления на 9 равен 5.

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти