Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на все натуральные числа от 2 до 10 включительно дает остаток, не меньший половины делителя
Например, условиям задачи удовлетворяет число $10! – 1$
Ответ: 599 Нетрудно найти некоторые числа, удовлетворяющие условиям задачи. Например, условиям задачи удовлетворяет число $10! – 1$. Или достаточно взять $5\cdot7\cdot8\cdot9 – 1 = 2519$. Оказывается можно найти меньшее число. Можно показать, что при делении искомого числа на 2 остаток равен 1, при делении на 3 остаток равен 2, при делении на 4 остаток равен 3, при делении на 5 остаток равен 4, при делении на 6 остаток равен 5, при делении на 8 остаток равен 7, при делении на 10 остаток равен 9. Отсюда следует, что всякое число, удовлетворяющее условию имеет вид $120k – 1$, где $k$ – натуральное число. Осталось подобрать такое $k$, чтобы остаток от деления $120k – 1$ на 7 и 9 удовлетворял условию. $k = 1, 2, 3, 4$ не годятся При $k=5 \;\; 120k – 1 = 599$, остаток от деления 599 на 7 равен 4, остаток от деления на 9 равен 5.
