Сумма десятых степеней цифр

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
09.05.2023 20:55
Сумма десятых степеней цифр
Условие

Первое число последовательности равно двум.
Каждое следующее число равно сумме десятых степеней цифр предыдущего числа.
Верно ли, что в этой последовательности встретятся два одинаковых числа?


Создается впечатление, что последовательность – возрастающая. Но это не так



Ответ: Да, верно
$a_1 = 2$
$a_2 = 1024$
$a_3 = 1^{10} + 2^{10} + 4^{10} = 1 + 1024 + 1024^2 = 1049601$
$a_4$ очень велико.
На первый взгляд числа быстро растут.
Однако с учетом того обстоятельства, что десятая степень каждой цифры не больше $10^{10}$, получаем, что числа последовательности содержат не более 12 цифр и, соответственно, не превосходят $12\cdot10^{10}$.
То есть последовательность ограничена и в ней неизбежно встретятся одинаковые числа

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти