Многочлен с целыми коэффициентами принимает одинаковые значения в четырех точках

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
Форумы Список тем Новая тема
21.05.2023 20:43
koh
Многочлен с целыми коэффициентами принимает одинаковые значения в четырех точках
Условие

Пусть задан многочлен $F(x) = x^n + a_1x^{n-1} + … + a_n$ с целыми коэффициентами $a_1, ..., a_n$.
Известно, что существуют четыре различные целые числа $a, b, c, d$, такие, что $F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = 5$.
Можно ли найти такое целое $k$, что $F(k) = 8$?


$F(x) = (x - a)\cdot(x – b)\cdot(x - c)\cdot(x – d)\cdotG(x) + 5$



Ответ: Нет, нельзя
$F(x) = (x - a)\cdot(x – b)\cdot(x - c)\cdot(x – d)\cdotG(x) + 5$
Пусть существует целое $k$, такое, что $F(k) = 8$
Тогда $(k - a)\cdot(k – b)\cdot(k - c)\cdot(k – d)\cdotG(k) = 3$
Среди чисел $(k - a), (k – b), (k - c), (k – d)$ есть минимум три числа, равные $\pm1$
Отсюда следует, что среди чисел $a, b, c, d$, есть хотя бы два равных, что противоречит условию задачи

Ответить Цитировать
« Следующая тема   Предыдущая тема »
Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти