Многочлен с целыми коэффициентами принимает одинаковые значения в четырех точках
Условие
Пусть задан многочлен $F(x) = x^n + a_1x^{n-1} + … + a_n$ с целыми коэффициентами $a_1, ..., a_n$. Известно, что существуют четыре различные целые числа $a, b, c, d$, такие, что $F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = 5$. Можно ли найти такое целое $k$, что $F(k) = 8$?
Ответ: Нет, нельзя $F(x) = (x - a)\cdot(x – b)\cdot(x - c)\cdot(x – d)\cdotG(x) + 5$ Пусть существует целое $k$, такое, что $F(k) = 8$ Тогда $(k - a)\cdot(k – b)\cdot(k - c)\cdot(k – d)\cdotG(k) = 3$ Среди чисел $(k - a), (k – b), (k - c), (k – d)$ есть минимум три числа, равные $\pm1$ Отсюда следует, что среди чисел $a, b, c, d$, есть хотя бы два равных, что противоречит условию задачи
