Три точки

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеПравила и принципы форума «Высшая математика»28.10.2009 15:17
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
ОбъявлениеКниги по математике и экономике в добрые руки!10.08.2023 09:45
17.01.2024 22:57
Три точки
Условие

На отрезке $[-1; 1]$ выбраны три различные точки, для каждой посчитано произведение расстояний до остальных двух точек и через $S$ обозначена сумма обратных величин этих произведений. Верно ли, что $S \geq 2$?


Каждое из трех произведений увеличится (а сумма $S$ обратных к ним величин уменьшится), если крайние точки «раздвинуть»: левую точку заменить на $–1$, правую на $1$.



Ответ: Да, верно
Каждое из трех произведений увеличится (а сумма $S$ обратных к ним величин уменьшится), если крайние точки «раздвинуть»: левую точку заменить на $–1$, правую на $1$.
Поэтому можно считать, что выбраны точки $–1, x, 1$, где $–1 < x < 1$.
Тогда
$S = \frac{1}{2\cdot(1 + x)} + \frac{1}{(1 + x)\cdot(1 – x)} + \frac{1}{2\cdot(1 – x)} = \frac{2}{1 – x^2} \geq 2$
Равенство достигается при $x = 0$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти