Стираем дроби

Автор темы koh 
ОбъявленияПоследний пост
ОбъявлениеРаботодателям и кадровым агентствам: Размещение вакансий26.03.2008 03:07
ОбъявлениеЗапущен новый раздел «Задачки и головоломки»29.08.2019 00:42
ОбъявлениеОткрыта свободная публикация вакансий для математиков26.09.2019 16:34
18.02.2024 20:22
Стираем дроби
Условие

На доске в строку написаны числа
$1 \; \frac{1}{2} \; \frac{1}{3} \; \frac{1}{4}\;...\; \frac{1}{10} \; \frac{1}{11} \; \frac{1}{12}$.
Верно ли, что как бы мы не расставили знаки «+» и «–» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю?
Какое наименьшее число количество написанных чисел надо стереть, чтобы после некоторой расстановки «+» и «–» между оставшимися числами получилась сумма, равная нулю?


Сумма двух несократимых дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с разными знаменателями не может равняться нулю



Ответ: Да, верно. Надо стереть 6 чисел: $\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11}$
Сумма двух несократимых дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с разными знаменателями не может равняться нулю
Поэтому $\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$ надо стереть.
Общий вклад дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$ может быть $\pm\frac{1}{5}, \pm\frac{1}{10}, \pm\frac{1}{5}$
Поскольку знаменатели остальных дробей не делятся на 5 эти две дроби тоже надо стереть
Из оставшихся чисел составить нулевую сумму можно:
$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}$

Извините, только зарегистрированные пользователи могут публиковать сообщения в этом форуме.

Кликните здесь, чтобы войти