На доске в строку написаны числа $1 \; \frac{1}{2} \; \frac{1}{3} \; \frac{1}{4}\;...\; \frac{1}{10} \; \frac{1}{11} \; \frac{1}{12}$. Верно ли, что как бы мы не расставили знаки «+» и «–» между этими числами, полученная сумма не будет равна нулю? Какое наименьшее число количество написанных чисел надо стереть, чтобы после некоторой расстановки «+» и «–» между оставшимися числами получилась сумма, равная нулю?
Сумма двух несократимых дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с разными знаменателями не может равняться нулю
Ответ: Да, верно. Надо стереть 6 чисел: $\frac{1}{5},\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{10},\frac{1}{11}$ Сумма двух несократимых дробей $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$ с разными знаменателями не может равняться нулю Поэтому $\frac{1}{7},\frac{1}{8},\frac{1}{9},\frac{1}{11}$ надо стереть. Общий вклад дробей $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{10}$ может быть $\pm\frac{1}{5}, \pm\frac{1}{10}, \pm\frac{1}{5}$ Поскольку знаменатели остальных дробей не делятся на 5 эти две дроби тоже надо стереть Из оставшихся чисел составить нулевую сумму можно: $1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{12}$
