На прямоугольном столе без наложений лежат 25 одинаковыми монет так, что нельзя положить еще одну монету, не накладывая ее на лежащие монеты. Верно ли, что, допуская наложения монет, весь стол можно покрыть 100 такими монетами? Монеты – это кружочки одинакового радиуса. Монета может высовываться за край стола, но таким образом, чтобы ее центр оставался на столе. Покрыть стол монетами – значит расположить монеты так, чтобы каждая точка стола находилась под какой-нибудь монетой.
Из условия следует, что каждая точка стола удалена от центра некоторой монеты на расстояние меньшее диаметра монеты
Ответ: Да, верно Из условия следует, что каждая точка стола удалена от центра некоторой монеты на расстояние меньшее диаметра монеты. Уменьшим все линейные размеры (стола и монет) вдвое. Полученный столик можно считать четвертью исходного стола. На столике расположены 25 монет вдвое меньшего радиуса (назовем их монетками), причем каждая его точка будет удалена от центра некоторой монетки на расстояние, меньшее диаметра монетки, то есть радиуса монеты. Если теперь, не меняя положения центров монеток на столике, увеличить их радиусы вдвое (то есть превратить в монеты), то столик будет покрыть 25 монетами. Таким образом, четверть данного стола может быть покрыта 25 монетами, а весь стол, следовательно, – 100 монетами.
