Известно, что последними цифрами квадратов целых чисел могут быть лишь цифры $0, 1, 4, 5, 6, 9$. Верно ли, что перед последней цифрой в квадратах может встретиться любая группа цифр, то есть, что для любого набора из $n$ цифр $a_1, a_2, ..., a_n$ можно найти целое число, квадрат которого оканчивается цифрами $a_1a_2...a_nb$ (где $b$ – одна из вышеперечисленных цифр)?
Рассмотрите, например, квадрат, оканчивающийся на $005b$
Ответ: Нет Известно, что если предпоследняя цифра точного квадрата нечетна, то последняя равна $6$. Это вытекает из того, что предпоследняя цифра квадрата любого числа и предпоследняя цифра квадрата его последней цифры имеют одинаковую четность. А у квадрата однозначного числа предпоследняя цифра нечетна только в двух случаях: $4^2 = 16$ и $6^2 = 36$. Покажем, что точный квадрат не может заканчиваться на $005b$. По доказанному он должен оканчиваться на $0056$. Тогда он делится на $8$ и не делится на $16$, что, очевидно, невозможно для квадрата.
