Назовем натуральное число равновесным, если в его десятичной записи некоторое начало совпадает с некоторым концом (например, числа $1961, 1236123$ равновесные, а число $2025$ – нет). Существует ли число, которое после приписывания к нему справа любой из десяти цифр становится равновесным?
Да, существует
Ответ: Да, существует Возьмем $a_0 = 0$. Припишем к нему слева и справа по единице. Получим $a_1 = 101$. К каждой цифре числа $101$ припишем справа цифру $2$, затем припишем цифру $2$ слева. Получим $a_2 = 2120212$. С этим числом проделаем ту же операцию, приписывая к каждой его цифре цифру $3$ справа и затем цифру $3$ в начало. Получим $a_3 = 323132303231323$. Продолжая указанным способом последовательно приписывать цифры $4, 5, 6, 7, 8, 9$, получим в результате число $a_9 = 9897989 … 9897989$, состоящее из $2^{10} – 1 = 1023$ цифр. Число $a_k$ обладает следующим свойством: после приписывания к нему справа цифры $m$ ($m \leq k$), некоторое его начало совпадает с концом, а именно первые $2^{k-m}$ цифр – такие же, как последние $2^{k-m}$ цифр. Таким образом, число $a_9$ является искомым. Укажем примеры приписывания цифр справа к числу $a_9$. Припишем к $a_9$ справа $9$. Получим $9897989 … 98979899$. Совпадают первая и последняя цифры. Припишем к $a_9$ справа $8$. Получим $9897989 … 98979898$. Совпадают первые две и последние две цифры. Припишем к $a_9$ справа $7$. Получим $9897989 … 98979897$. Совпадают первые четыре и последние четыре цифры. И т.д.
