Когда произведение n первых натуральных чисел делится на их сумму?

$n!$ делится на $\frac{n(n + 1)}{2}$

Ответ: произведение $n$ первых натуральных чисел делится на их сумму тогда и только тогда, когда $n + 1$ – составное число.
Если $1\cdot2\cdot3\cdot ... \cdotn$ делится на $1 + 2 + 3 + ... + n$, то $n!$ делится на $\frac{n(n + 1)}{2}$ и $2(n - 1)!$ делится на $n + 1$.
Если $n + 1$ простое число, то это невозможно.
Если $n + 1$ четное, то множитель $\frac{n + 1}{2}$ входит в $(n - 1)!$
Если $n + 1$ составное нечетное, представимое в виде $p^2$, где $p$ – простое, то множители $p$ и $2p$ входят в $(n - 1)!$
Если $n + 1$ составное нечетное, не представимое в виде $p^2$, где $p$ – простое, то оно представимо в виде произведения двух неравных сомножителей, входящих в $(n - 1)!$