При делении на искомое число любое нечетное число и его куб дают один и тот же остаток

При любом натуральном $n$ число $B = (2n – 1)^3 – (2n – 1) = (2n – 2)(2n – 1)2n$ делится на $A$.

Ответ: 24
При любом натуральном $n$ число $B = (2n – 1)^3 – (2n – 1) = (2n – 2)(2n – 1)2n$ делится на $A$.
Разложим $A$ на простые множители.
Ясно, что среди них не может быть множителей, больших трех.
Произведение трех последовательных чисел всегда делится на 3, но не обязано делиться на 9.
Число $B$ делится на 8, поскольку из двух последовательных четных чисел одно делится на 4, но не обязано делиться на 16.
Итак, $A = 2^3\cdot3 = 24$.
$n = 2 \; \rightarrow \; B = 3^3 – 3 = 24$
$n = 3 \; \rightarrow \; B = 5^3 – 5 = 120 = 5\cdot24$