Множество значений многочлена с целыми коэффициентами в целых точках
Условие
Верно ли, что для любого приведенного квадратного трехчлена $x^2 + px + q$ с целыми коэффициентами найдется трехчлен $2x^2 + rx + s$ с целыми коэффициентами такой, что множества значений этих многочленов в целых точках не пересекаются?
Рассмотрите остатки от деления на $4$ значений трехчлена $x^2 + px + q$ с целыми коэффициентами при целых $x$
Ответ: Да, верно Рассмотрим остатки от деления на $4$ значений трехчлена $x^2 + px + q$ с целыми коэффициентами при целых $x$ $x = 4k$ остаток $q$ $x = 4k + 1$ остаток $q + p + 1$ $x = 4k + 2$ остаток $q + 2p$ $x = 4k + 3$ остаток $q + 3p + 1$ При нечетном $p$ все добавки к $q$ четные. При четном $p$ разность остатков при $x = 4k + 1$ и $x = 4k + 3$ кратна $4$. Следовательно, остатки от деления на $4$ значений трехчлена $x^2 + px + q$ с целыми коэффициентами при целых $x$ не могут принимать всевозможные значения. Обозначим $s$ тот остаток, который не встречается в целых точках трехчлена $x^2 + px + q$. Тогда многочлен $2x^2 + 2x + s$ – искомый, так как он принимает в целых точках только значения, дающие остаток $s$ при делении на $4$
